명제 논리 조건명제 기준: 참과 거짓이 헷갈릴 때 구분하기

핵심 정의와 기호

명제는 참 또는 거짓으로 판단할 수 있는 평서문입니다. ‘2는 홀수이다’처럼 거짓인 문장도 명제입니다. 질문·명령은 명제가 아닙니다. ‘n은 짝수이다’는 n의 범위와 값이 정해지지 않았다면 술어이며, n=2로 정하거나 ‘모든 정수 n에 대해’처럼 수량을 정해야 명제가 됩니다.

기호	읽는 법	참인 조건
¬p	p가 아니다	p가 거짓
p∧q	p이고 q이다	둘 다 참
p∨q	p 또는 q이다	하나 이상 참
p→q	p이면 q이다	p가 참이고 q가 거짓인 경우를 제외

∨는 둘 다 참인 경우도 포함합니다. p→q에서 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건입니다. p가 성립하면 q를 보장하지만 q만으로 p를 보장하지는 않습니다.

가장 작은 예제

정수 n에 대해 P(n)을 ‘4의 배수’, Q(n)을 ‘짝수’라고 둡니다. 모든 정수 n에 대해 P(n)→Q(n)은 참입니다. n=4k이면 n=2(2k)이기 때문입니다. 역 Q(n)→P(n)은 n=2에서 거짓입니다.

헷갈리는 반례

역은 q→p, 이는 ¬p→¬q, 대우는 ¬q→¬p입니다. 원명제와 같은 진리값을 보장하는 것은 대우입니다. ‘4의 배수가 아니면 짝수가 아니다’라는 이는 n=2에서 거짓입니다. JavaScript truthy/falsy는 언어의 변환 규칙이므로 Boolean 논리와 구분합니다.

손으로 풀어보기

p=‘로그인했다’, q=‘사용자 ID가 존재한다’라는 조건을 모델링했다고 합시다. 역은 ‘ID가 있으면 로그인했다’, 이는 ‘로그인하지 않으면 ID가 없다’, 대우는 ‘ID가 없으면 로그인하지 않았다’입니다. 실제 서비스가 이 조건을 만족하는지는 별도 사양 확인이 필요합니다.

p	q	¬p	p∧q	p∨q	p→q	¬q→¬p
참	참	거짓	참	참	참	참
참	거짓	거짓	거짓	참	거짓	거짓
거짓	참	참	거짓	참	참	참
거짓	거짓	참	거짓	거짓	참	참

마지막 두 열이 모든 조합에서 같으므로 원명제와 대우는 논리적으로 동치입니다. 전제가 거짓인 두 행에서 조건명제가 참인 이유는 ‘p이면서 q가 아닌 반례’가 없기 때문입니다.

선택: JavaScript로 검산하기

코드 직접 실행

본문 예제를 선택하고 실제 계산 결과를 확인합니다.

예제 크게 보기 (새 탭)

손풀이 뒤 선택해서 실행하는 짧은 전체 코드입니다. 브라우저 Console 또는 Node.js가 준비된 환경의 check.mjs에서 실행할 수 있으며 수학 학습에 설치는 필수가 아닙니다.

const values = [true, false];
for (const p of values) {
  for (const q of values) {
    const implication = !p || q;
    console.log({ p, q, implication });
  }
}

기대 결과: p,q가 (true,true), (true,false), (false,true), (false,false)일 때 implication은 차례로 true, false, true, true입니다.

Boolean 변수 두 개의 네 조합은 가능한 경우 전체입니다. 정확한 진리표로 모든 경우를 확인하면 해당 논리식의 동치를 증명할 수 있습니다. 무한한 정수 중 몇 값만 검사하는 것과 다릅니다.

자주 발생하는 오해와 교정

‘전제가 거짓이면 조건명제도 거짓’이라는 해석은 틀립니다. p→q가 거짓인 것은 p가 참이고 q가 거짓인 한 경우입니다. 역 q→p와 대우 ¬q→¬p도 구분하며 원명제와 항상 동치인 것은 대우입니다.

직접 풀어볼 문제와 해설

쉬운 개념

조건명제 p→q는 p가 참인데 q가 거짓인 경우에만 깨집니다. 역 q→p는 다른 주장이고, 대우 ¬q→¬p는 원래 주장과 같은 진리값입니다.

단계별 예제

1. p=참, q=거짓을 대입합니다.
2. p→q는 참인 전제가 거짓인 결론을 보장하지 못하므로 거짓입니다.
3. 대우에서는 ¬q=참, ¬p=거짓이므로 역시 거짓입니다.

직접 풀 문제

p=거짓, q=참일 때 p→q, 역 q→p, 대우 ¬q→¬p의 진리값을 차례대로 구하세요.

정답·해설 보기

1. p→q는 전제가 거짓이라 참입니다.
2. 역 q→p는 참→거짓이므로 거짓입니다.
3. 대우 ¬q→¬p는 거짓→참이므로 참입니다. 원명제와 대우만 일치합니다.

다음 학습

2회차에서는 조건의 대상 집합을 정하고 OR·AND를 합집합·교집합에 연결합니다. 다음 글 읽기

학습 완료 체크리스트

• 정의의 적용 범위와 기호를 말로 설명할 수 있습니다.
• 위 손풀이를 답을 가린 상태에서 다시 계산합니다.
• 반례가 어떤 조건을 어기는지 설명합니다.

알고리즘 수학 노트

첫 회차이므로 새 노트에서 시작합니다. 아래는 이번 회차의 완성 예시입니다. 자신의 다른 예제 하나를 덧붙여도 좋습니다.

‘권한이 있으면 메뉴를 표시한다’를 p→q로 모델링하고 p=true,q=false를 요구사항 위반 사례로 적습니다. 충분조건과 필요조건의 방향, 역의 반례 n=2, 원명제·대우의 동일한 열을 저장합니다. 다음 집합에서는 ‘조건을 만족하는 대상의 범위’를 다룹니다.

완료 체크포인트

discrete-step-01-proposition

다음 학습

이산수학 집합 쉽게 이해하기: 원소 부분집합 집합연산에서 다음 개념을 이어갑니다.