행·열 구분과 행렬 기본 개념: 곱셈·가우스 소거법

행과 열 구분: 가로줄·세로줄과 2행 3열 예제

행렬 A의 크기가 2 × 3이라면 가로 방향의 행이 2개이고 세로 방향의 열이 3개입니다. 원소 aᵢⱼ의 첫 번째 아래첨자 i는 행, 두 번째 아래첨자 j는 열을 가리킵니다. 예를 들어 아래 행렬에서 a₂₃ = 6입니다. 행과 열 순서를 거꾸로 읽으면 뒤의 모든 연산 조건도 함께 틀어지므로, 계산 전에 크기부터 적는 습관이 중요합니다.

A = [ 1  2  3 ]
    [ 4  5  6 ]

A의 크기: 2 × 3
a₁₂ = 2
a₂₃ = 6

같은 2행 3열 행렬에서 행과 열 비교

구분	읽는 방향	위 예제의 값
1행	첫 번째 가로줄	1, 2, 3
2열	두 번째 세로줄	2, 5
2행 3열의 원소	두 번째 행과 세 번째 열이 만나는 칸	6

구분 확인: 한 행에 숫자가 3개 있다고 3행인 것은 아닙니다. 가로줄의 개수를 세면 2행이고, 각 가로줄에 놓인 칸의 개수를 세면 3열입니다.

직접 확인: 2행 3열은 숫자 6을 뜻할까요?

행렬의 크기와 원소의 위치는 다릅니다. “2행 3열 행렬”은 가로줄 2개·세로줄 3개로 이루어진 표 전체입니다. “2행 3열의 원소”는 그 표에서 두 번째 가로줄과 세 번째 세로줄이 만나는 숫자 하나입니다. 위 예제에서는 그 숫자가 6입니다.

연습으로 위 행렬의 a₂₁을 찾아보세요. 첫 숫자 2를 보고 두 번째 가로줄 [4 5 6]을 고른 다음, 두 번째 숫자 1을 보고 그 줄의 첫 값을 고르면 됩니다.

정답과 이유 확인하기

a₂₁ = 4입니다. 반대로 a₁₂ = 2이므로 아래첨자의 순서를 바꾸면 다른 위치가 됩니다.

계산보다 엑셀 셀 주소나 줄 세우기 표현이 궁금하다면 행·열 구분과 2열 종대 설명에서 생활 속 예제를 먼저 확인하세요.

행벡터·열벡터와 행렬의 관계

행벡터는 1 × n, 열벡터는 m × 1인 특별한 행렬로 볼 수 있습니다. 다만 벡터를 좌표, 방향, 데이터 한 건으로 해석하는 맥락과 행렬을 여러 벡터의 모음 또는 선형변환으로 해석하는 맥락은 구분해야 합니다. 모양만 같다고 의미까지 같은 것은 아닙니다.

덧셈·스칼라곱·전치는 어떤 조건에서 가능한가

연산	가능 조건	결과 크기
A + B	A와 B의 행 수와 열 수가 각각 같음	입력과 같음
cA	스칼라 c를 모든 원소에 곱함	A와 같음
Aᵀ	항상 가능하며 행과 열을 맞바꿈	A가 m × n이면 n × m

A = [ 1  2 ]    B = [ 3  4 ]
    [ 5  6 ]        [ 7  8 ]

A + B = [  4   6 ]
        [ 12  14 ]

Aᵀ = [ 1  5 ]
     [ 2  6 ]

행렬 덧셈은 같은 위치의 원소끼리 계산하므로 2 × 2와 2 × 3은 더할 수 없습니다. 전치에서는 원소 값은 그대로 두고 위치만 aᵢⱼ → aⱼᵢ로 바뀝니다.

행렬곱은 차원 조건을 먼저 확인한다

A가 m × n, B가 n × p일 때 AB를 계산할 수 있고 결과는 m × p입니다. 가운데 차원 n이 같아야 한다는 뜻입니다. 결과의 i행 j열 원소는 A의 i행과 B의 j열을 같은 위치끼리 곱해 모두 더한 값입니다.

A = [ 1  2  3 ]    B = [ 1  2 ]
    [ 4  5  6 ]        [ 0  1 ]
                       [ 1  0 ]

A: 2 × 3, B: 3 × 2 → AB는 2 × 2

AB = [ 1×1 + 2×0 + 3×1    1×2 + 2×1 + 3×0 ]
     [ 4×1 + 5×0 + 6×1    4×2 + 5×1 + 6×0 ]
   = [  4   4 ]
     [ 10  13 ]

AB가 가능하다고 BA도 같은 값이 되는 것은 아닙니다. 이 예에서는 BA도 계산할 수 있지만 결과 크기와 값이 다릅니다. 일반적으로 행렬곱은 교환법칙 AB = BA를 만족하지 않습니다. 계산 조건과 순서를 각각 확인해야 합니다.

가우스 소거법을 확장행렬로 따라가기

가우스 소거법은 연립방정식의 계수와 상수항을 확장행렬로 옮긴 뒤 기본행연산을 적용해 계단형으로 만드는 방법입니다. MIT OpenCourseWare의 행렬 소거 강의도 소거법을 행렬 계산의 핵심 알고리즘으로 다룹니다.

x + y = 3
2x - y = 0

[ 1   1 | 3 ]
[ 2  -1 | 0 ]

R₂ ← R₂ - 2R₁
[ 1   1 |  3 ]
[ 0  -3 | -6 ]

R₂ ← (-1/3)R₂
[ 1  1 | 3 ]
[ 0  1 | 2 ]

R₁ ← R₁ - R₂
[ 1  0 | 1 ]
[ 0  1 | 2 ]

따라서 x = 1, y = 2

허용되는 기본행연산은 두 행 교환, 한 행에 0이 아닌 상수 곱하기, 한 행에 다른 행의 상수배 더하기입니다. 이 연산들은 해집합을 바꾸지 않습니다. 아래 행의 선도 원소를 이용해 위아래 원소까지 0으로 만들고 각 선도 원소를 1로 만들면 기약행 사다리꼴(RREF)에 도달합니다.

해가 없거나 여러 개인 예외를 행으로 판별하기

소거 후 나타난 행	의미	판정
[0 0 | 1]	0 = 1이라는 모순	해 없음
[0 0 | 0]이고 피벗 없는 변수가 있음	자유변수를 정할 수 있음	해가 무한히 많을 수 있음
모든 변수 열에 피벗이 있고 모순 행 없음	각 변수가 하나의 값으로 결정됨	유일한 해

소거 도중 0으로 행 전체를 나누면 안 됩니다. 또한 행을 바꾸거나 상수배할 때 상수항 열까지 함께 연산해야 합니다. 계수 부분만 바꾸면 원래 연립방정식과 다른 문제가 됩니다.

계산 결과를 검증하는 체크리스트

1. 행렬마다 행 수 × 열 수를 먼저 적고 연산 조건을 확인합니다.
2. 행렬곱의 결과 크기를 미리 적은 뒤 각 칸이 행·열 내적으로 계산됐는지 봅니다.
3. 가우스 소거의 각 단계에서 행 전체와 상수항을 같은 방식으로 바꿨는지 확인합니다.
4. 구한 해를 원래 연립방정식에 대입해 모든 식을 만족하는지 검산합니다.
5. 모순 행과 자유변수를 확인해 유일해·무해·무한해를 구분합니다.

더 넓은 선형대수 흐름은 MIT 18.06 선형대수 공개 강의에서 행렬곱, 전치, RREF, 네 가지 기본 부분공간 순으로 확인할 수 있습니다.

행과 열의 방향 자체가 아직 헷갈린다면 계산에 들어가기 전에 행과 열 쉽게 구분하는 방법부터 확인하면 차원 표기가 더 빠르게 이해됩니다.

결론과 내부 학습 경로

결론: 행렬 문제는 값을 바로 계산하기보다 차원 확인 → 연산 가능 여부 → 계산 → 원래 식으로 검산하는 순서로 풀면 오류가 크게 줄어듭니다. 가우스 소거에서는 모순 행과 자유변수까지 확인해야 해의 개수를 제대로 판정할 수 있습니다.

1. 이산수학 함수 단사·전사 개념으로 입력과 출력의 대응을 정리합니다.
2. 그래프 이론과 행렬 표현에서 인접행렬이 관계를 나타내는 방식을 확인합니다.
3. 이산수학 증명법으로 계산 결과를 논리적으로 설명하는 법을 익힙니다.
4. 순열·조합과 경우의 수로 이산수학의 계산 감각을 확장합니다.