행·열 구분과 행렬 기본 개념: 곱셈·가우스 소거법

핵심 정의와 기호

m×n 행렬은 m행 n열로 수를 배치한 것입니다. aᵢⱼ는 i행 j열 원소입니다. 같은 크기의 두 행렬은 대응 원소끼리 더합니다.

A가 m×n, B가 n×p이면 AB가 정의되고 크기는 m×p입니다. (AB)ᵢⱼ는 A의 i행과 B의 j열에서 대응하는 수를 곱해 모두 더한 값입니다. 이 행×열 계산을 내적이라고 부릅니다. 행렬 곱은 원소별 곱이 아닙니다.

가장 작은 예제

A가 2×3, B가 3×2이면 안쪽 수 3이 같아 곱할 수 있고 AB는 2×2입니다. A가 2×3, B가 2×2라면 AB는 안쪽 크기가 3과2로 달라 정의되지 않습니다. 같은 두 행렬의 BA는 2×3으로 계산 가능합니다.

헷갈리는 반례

A=[[1,2],[3,4]], B=[[5,6],[7,8]]이면 AB=[[19,22],[43,50]], BA=[[23,34],[31,46]]입니다. 둘 다 계산 가능해도 같지 않습니다. 곱셈의 교환법칙을 그대로 적용하지 않습니다.

손으로 풀어보기

위 A,B의 AB를 다음처럼 계산합니다.

위치	앞 행 × 뒤 열	결과
(1,1)	1×5+2×7	19
(1,2)	1×6+2×8	22
(2,1)	3×5+4×7	43
(2,2)	3×6+4×8	50

가우스 소거법은 방정식의 해를 유지하는 행 연산으로 모양을 단순화합니다. 두 행 교환, 한 행에 0이 아닌 수 곱하기, 다른 행의 배수를 더하기가 허용됩니다.

x+y=3, x−y=1의 확대행렬은 [[1,1|3],[1,−1|1]]입니다. R₂←R₂−R₁이면 [[1,1|3],[0,−2|−2]]가 됩니다. R₂를 −2로 나누면 y=1, 첫 식에 대입하면 x=2입니다. 원래 두 식에서 2+1=3,2−1=1로 검산합니다. 0으로 행을 나누는 연산은 허용되지 않습니다.

선택: JavaScript로 검산하기

코드 직접 실행

본문 예제를 선택하고 실제 계산 결과를 확인합니다.

예제 크게 보기 (새 탭)

손풀이 뒤 선택해서 실행하는 짧은 전체 코드입니다. 브라우저 Console 또는 Node.js가 준비된 환경의 check.mjs에서 실행할 수 있으며 수학 학습에 설치는 필수가 아닙니다.

const A = [[1, 2], [3, 4]];
const B = [[5, 6], [7, 8]];
const C = A.map((row, i) =>
  B[0].map((_, j) =>
    row.reduce((sum, value, k) => sum + value * B[k][j], 0)
  )
);
console.log(C);

기대 결과: [[19,22],[43,50]]이 출력됩니다.

이 코드는 크기가 맞는 고정된 2×2 예제의 곱을 계산합니다. 임의의 빈 배열·잘못된 크기·수치 오차까지 처리하는 행렬 라이브러리가 아닙니다.

자주 발생하는 오해와 교정

행렬 곱은 대응 원소끼리 곱하는 연산이 아닙니다. AB가 가능하다고 BA도 같다고 가정하지 않습니다. 가우스 소거에서는 한 행에 0을 곱하거나 0으로 나누어 원래 정보를 잃지 않습니다.

직접 풀어볼 문제와 해설

쉬운 개념

행렬 곱 AB는 A의 각 행과 B의 각 열의 내적입니다. A가 m×n, B가 n×p일 때만 계산되고 결과는 m×p입니다.

단계별 예제

1. A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,4]]로 둡니다.
2. AB의 첫 행은 (1×2+2×3, 1×0+2×4)=(8,8)입니다.
3. 둘째 행은 (0×2+1×3, 0×0+1×4)=(3,4)여서 AB=[[8,8],[3,4]]입니다.

직접 풀 문제

C=[[1,1],[2,0]], D=[[0,2],[3,1]]일 때 CD를 계산하고 (1,2) 원소의 중간 계산을 적으세요.

정답·해설 보기

1. 첫 행은 (1×0+1×3, 1×2+1×1)=(3,3)입니다.
2. 둘째 행은 (2×0+0×3, 2×2+0×1)=(0,4)입니다.
3. 따라서 CD=[[3,3],[0,4]]이고 수학의 (1,2) 원소는 3입니다.

다음 학습

10회차에서 행렬을 그래프의 인접 관계를 표현하는 데 사용합니다. 다음 글 읽기

학습 완료 체크리스트

• 정의의 적용 범위와 기호를 말로 설명할 수 있습니다.
• 위 손풀이를 답을 가린 상태에서 다시 계산합니다.
• 반례가 어떤 조건을 어기는지 설명합니다.

알고리즘 수학 노트

누적 이전 체크포인트: discrete-step-08-row-column. 아래는 이번 회차의 완성 예시입니다. 자신의 다른 예제 하나를 덧붙여도 좋습니다.

관계의 존재를 0과1의 표로 나타내면 다음 그래프의 인접 행렬로 이어집니다. 노트에는 크기 조건 (m×n)(n×p)=m×p, AB 네 칸 계산, BA와의 차이, 가우스 소거에서 해를 보존한 두 행 연산을 저장합니다.

완료 체크포인트

discrete-step-09-matrix

다음 학습

그래프 이론 기본 개념: 용어 경로 행렬 표현 기준 잡기에서 다음 개념을 이어갑니다.