핵심 답 먼저
행렬은 숫자를 행과 열에 배치한 구조이며, m × n은 행이 m개, 열이 n개라는 뜻입니다. 덧셈은 크기가 같은 행렬끼리, 곱셈 AB는 A의 열 수와 B의 행 수가 같을 때만 가능합니다. 가우스 소거법은 연립방정식의 해를 바꾸지 않는 기본행연산으로 확장행렬을 계단형으로 정리하는 절차입니다. 이 글은 행렬을 처음 배우는 분이 차원·연산 순서·해의 예외까지 한 번에 판단하도록 구성했습니다.
행렬·행·열·차원을 정확히 읽는 법
행렬 A의 크기가 2 × 3이라면 가로 방향의 행이 2개이고 세로 방향의 열이 3개입니다. 원소 aᵢⱼ의 첫 번째 아래첨자 i는 행, 두 번째 아래첨자 j는 열을 가리킵니다. 예를 들어 아래 행렬에서 a₂₃ = 6입니다. 행과 열 순서를 거꾸로 읽으면 뒤의 모든 연산 조건도 함께 틀어지므로, 계산 전에 크기부터 적는 습관이 중요합니다.
A = [ 1 2 3 ]
[ 4 5 6 ]
A의 크기: 2 × 3
a₁₂ = 2
a₂₃ = 6
행벡터·열벡터와 행렬의 관계
행벡터는 1 × n, 열벡터는 m × 1인 특별한 행렬로 볼 수 있습니다. 다만 벡터를 좌표, 방향, 데이터 한 건으로 해석하는 맥락과 행렬을 여러 벡터의 모음 또는 선형변환으로 해석하는 맥락은 구분해야 합니다. 모양만 같다고 의미까지 같은 것은 아닙니다.
덧셈·스칼라곱·전치는 어떤 조건에서 가능한가
| 연산 | 가능 조건 | 결과 크기 |
|---|---|---|
A + B |
A와 B의 행 수와 열 수가 각각 같음 | 입력과 같음 |
cA |
스칼라 c를 모든 원소에 곱함 | A와 같음 |
Aᵀ |
항상 가능하며 행과 열을 맞바꿈 | A가 m × n이면 n × m |
A = [ 1 2 ] B = [ 3 4 ]
[ 5 6 ] [ 7 8 ]
A + B = [ 4 6 ]
[ 12 14 ]
Aᵀ = [ 1 5 ]
[ 2 6 ]행렬 덧셈은 같은 위치의 원소끼리 계산하므로 2 × 2와 2 × 3은 더할 수 없습니다. 전치에서는 원소 값은 그대로 두고 위치만 aᵢⱼ → aⱼᵢ로 바뀝니다.
행렬곱은 차원 조건을 먼저 확인한다
A가 m × n, B가 n × p일 때 AB를 계산할 수 있고 결과는 m × p입니다. 가운데 차원 n이 같아야 한다는 뜻입니다. 결과의 i행 j열 원소는 A의 i행과 B의 j열을 같은 위치끼리 곱해 모두 더한 값입니다.
A = [ 1 2 3 ] B = [ 1 2 ]
[ 4 5 6 ] [ 0 1 ]
[ 1 0 ]
A: 2 × 3, B: 3 × 2 → AB는 2 × 2
AB = [ 1×1 + 2×0 + 3×1 1×2 + 2×1 + 3×0 ]
[ 4×1 + 5×0 + 6×1 4×2 + 5×1 + 6×0 ]
= [ 4 4 ]
[ 10 13 ]AB가 가능하다고 BA도 같은 값이 되는 것은 아닙니다. 이 예에서는 BA도 계산할 수 있지만 결과 크기와 값이 다릅니다. 일반적으로 행렬곱은 교환법칙 AB = BA를 만족하지 않습니다. 계산 조건과 순서를 각각 확인해야 합니다.
가우스 소거법을 확장행렬로 따라가기
가우스 소거법은 연립방정식의 계수와 상수항을 확장행렬로 옮긴 뒤 기본행연산을 적용해 계단형으로 만드는 방법입니다. MIT OpenCourseWare의 행렬 소거 강의도 소거법을 행렬 계산의 핵심 알고리즘으로 다룹니다.
x + y = 3
2x - y = 0
[ 1 1 | 3 ]
[ 2 -1 | 0 ]
R₂ ← R₂ - 2R₁
[ 1 1 | 3 ]
[ 0 -3 | -6 ]
R₂ ← (-1/3)R₂
[ 1 1 | 3 ]
[ 0 1 | 2 ]
R₁ ← R₁ - R₂
[ 1 0 | 1 ]
[ 0 1 | 2 ]
따라서 x = 1, y = 2허용되는 기본행연산은 두 행 교환, 한 행에 0이 아닌 상수 곱하기, 한 행에 다른 행의 상수배 더하기입니다. 이 연산들은 해집합을 바꾸지 않습니다. 아래 행의 선도 원소를 이용해 위아래 원소까지 0으로 만들고 각 선도 원소를 1로 만들면 기약행 사다리꼴(RREF)에 도달합니다.
해가 없거나 여러 개인 예외를 행으로 판별하기
| 소거 후 나타난 행 | 의미 | 판정 |
|---|---|---|
[0 0 | 1] |
0 = 1이라는 모순 |
해 없음 |
[0 0 | 0]이고 피벗 없는 변수가 있음 |
자유변수를 정할 수 있음 | 해가 무한히 많을 수 있음 |
| 모든 변수 열에 피벗이 있고 모순 행 없음 | 각 변수가 하나의 값으로 결정됨 | 유일한 해 |
소거 도중 0으로 행 전체를 나누면 안 됩니다. 또한 행을 바꾸거나 상수배할 때 상수항 열까지 함께 연산해야 합니다. 계수 부분만 바꾸면 원래 연립방정식과 다른 문제가 됩니다.
계산 결과를 검증하는 체크리스트
- 행렬마다
행 수 × 열 수를 먼저 적고 연산 조건을 확인합니다. - 행렬곱의 결과 크기를 미리 적은 뒤 각 칸이 행·열 내적으로 계산됐는지 봅니다.
- 가우스 소거의 각 단계에서 행 전체와 상수항을 같은 방식으로 바꿨는지 확인합니다.
- 구한 해를 원래 연립방정식에 대입해 모든 식을 만족하는지 검산합니다.
- 모순 행과 자유변수를 확인해 유일해·무해·무한해를 구분합니다.
더 넓은 선형대수 흐름은 MIT 18.06 선형대수 공개 강의에서 행렬곱, 전치, RREF, 네 가지 기본 부분공간 순으로 확인할 수 있습니다.
결론과 내부 학습 경로
결론: 행렬 문제는 값을 바로 계산하기보다 차원 확인 → 연산 가능 여부 → 계산 → 원래 식으로 검산하는 순서로 풀면 오류가 크게 줄어듭니다. 가우스 소거에서는 모순 행과 자유변수까지 확인해야 해의 개수를 제대로 판정할 수 있습니다.
- 이산수학 함수 단사·전사 개념으로 입력과 출력의 대응을 정리합니다.
- 그래프 이론과 행렬 표현에서 인접행렬이 관계를 나타내는 방식을 확인합니다.
- 이산수학 증명법으로 계산 결과를 논리적으로 설명하는 법을 익힙니다.
- 순열·조합과 경우의 수로 이산수학의 계산 감각을 확장합니다.