이산수학 집합 쉽게 이해하기: 원소 부분집합 집합연산

핵심 정의와 기호

집합은 대상을 원소로 모은 것입니다. 순서와 같은 원소의 반복은 집합을 바꾸지 않습니다. {1,2}={2,1,1}입니다.

기호	읽는 법과 뜻
x∈A	x는 A의 원소이다
A⊆B	A의 모든 원소가 B에도 있다
A⊊B	A⊆B이고 A≠B인 진부분집합
∅	원소가 없는 공집합
A∪B / A∩B	합집합 / 교집합
A−B	A에 있지만 B에는 없는 원소
Aᶜ	전체집합 U에서 A를 뺀 U−A
P(A)	A의 모든 부분집합을 모은 멱집합
|A|	A의 원소 수

공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 공집합의 원소 중 포함 조건을 위반하는 것이 없기 때문입니다. 여집합은 반드시 전체집합 U를 정해야 합니다.

가장 작은 예제

U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3}, B={3,4}를 끝까지 사용합니다.

연산	결과
A∪B	{1,2,3,4}
A∩B	{3}
A−B	{1,2}
B−A	{4}
Aᶜ	{4,5}

합집합은 조건의 OR, 교집합은 AND와 연결됩니다. 차집합은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없습니다.

헷갈리는 반례

위 A에서 1∈A와 {1}⊆A는 참이지만 {1}∈A는 거짓입니다. A의 원소는 숫자이지 집합 {1}이 아니기 때문입니다. ∅와 {∅}도 다릅니다. 원소 수가 각각 0과 1입니다.

손으로 풀어보기

S={a,b}의 멱집합은 P(S)={∅,{a},{b},{a,b}}입니다. a를 넣을지 두 선택, b를 넣을지 두 선택이 있으므로 2×2=4입니다. 서로 다른 원소가 n개인 유한집합의 부분집합 수는 2^n입니다. n=0에도 P(∅)={∅}이므로 2⁰=1입니다.

선택: JavaScript로 검산하기

코드 직접 실행

본문 예제를 선택하고 실제 계산 결과를 확인합니다.

예제 크게 보기 (새 탭)

손풀이 뒤 선택해서 실행하는 짧은 전체 코드입니다. 브라우저 Console 또는 Node.js가 준비된 환경의 check.mjs에서 실행할 수 있으며 수학 학습에 설치는 필수가 아닙니다.

const A = new Set([1, 2, 3]);
const B = new Set([3, 4]);
const union = new Set([...A, ...B]);
const intersection = new Set([...A].filter((x) => B.has(x)));
console.log([...union], [...intersection]);

기대 결과: 합집합 배열 [1,2,3,4], 교집합 배열 [3]이 출력됩니다. 출력 배열의 순서는 이 코드의 삽입 순서이며 수학적 집합의 정의에 순서가 생기는 것은 아닙니다.

이 코드는 주어진 두 유한집합의 결과만 확인합니다. 모든 집합에 대한 연산 법칙의 일반 증명은 별도입니다.

자주 발생하는 오해와 교정

∈는 원소 포함, ⊆는 집합 포함입니다. {1}∈{1,2,3}이라고 쓰지 않습니다. 여집합은 U가 바뀌면 결과도 달라지므로 전체집합을 생략하지 않습니다. ∅와 {∅}의 원소 수도 다릅니다.

직접 풀어볼 문제와 해설

쉬운 개념

∈는 하나의 원소가 집합에 속한다는 뜻, ⊆는 집합의 모든 원소가 다른 집합에 속한다는 뜻입니다. 집합 연산을 할 때는 바탕집합 U를 먼저 정해야 여집합이 분명해집니다.

단계별 예제

1. U={1,2,3,4}, A={1,2}, B={2,3}으로 둡니다.
2. A∩B는 양쪽에 있는 2만 남기고, A∪B는 1,2,3을 모읍니다.
3. 여집합 (A∪B)ᶜ는 U에서 1,2,3을 빼서 {4}입니다.

직접 풀 문제

같은 U,A,B에서 (A−B)∪(B−A)와 A∪B의 여집합을 각각 구하세요.

정답·해설 보기

1. A−B={1}, B−A={3}이므로 두 차집합의 합집합은 {1,3}입니다.
2. A∪B={1,2,3}이고 U={1,2,3,4}이므로 (A∪B)ᶜ={4}입니다.

다음 학습

3회차에서는 집합과 정수에 대한 주장이 왜 모든 대상에서 성립하는지 증명합니다. 다음 글 읽기

학습 완료 체크리스트

• 정의의 적용 범위와 기호를 말로 설명할 수 있습니다.
• 위 손풀이를 답을 가린 상태에서 다시 계산합니다.
• 반례가 어떤 조건을 어기는지 설명합니다.

알고리즘 수학 노트

누적 이전 체크포인트: discrete-step-01-proposition. 아래는 이번 회차의 완성 예시입니다. 자신의 다른 예제 하나를 덧붙여도 좋습니다.

전체 사용자 U에서 관리자 A, 활성 사용자 B를 정하면 A∩B는 ‘관리자이면서 활성’입니다. 대상 범위를 U로 먼저 정하고 명제의 AND/OR를 교집합/합집합으로 옮깁니다. A−B와 B−A 결과 및 P({a,b}) 네 원소를 노트에 저장합니다.

완료 체크포인트

discrete-step-02-set

다음 학습

이산수학 증명법 쉽게 이해하기: 직접증명과 귀납법 기준에서 다음 개념을 이어갑니다.