이산수학 함수 쉽게 이해하기: 정의역 공역 치역과 단사 전사

• 함수는 먼저 입력 기준으로 보기
• 함수인지 아닌지 판별하는 두 가지 조건
• 정의역·공역·치역을 구분하는 방법
• 단사·전사·전단사를 겹침과 빈칸으로 판단하기
• 역함수와 합성함수에서 자주 틀리는 부분
• 특수 함수는 계산 기준부터 잡기
• 문제 풀 때 확인할 순서

함수는 먼저 입력 기준으로 보기

함수를 처음 배울 때 가장 헷갈리는 지점은 용어보다 출발점입니다.같은 기호가 먼저 보이면 함수가 무엇인지 이해하기도 전에 읽는 단계에서 막힙니다. 그래서 처음에는 기호를 잠시 내려놓고, 입력과 출력만 보는 것이 낫습니다.

함수는 어떤 입력을 넣었을 때 결과가 하나로 정해지는 규칙입니다. 입력 1을 넣으면 항상 a가 나오고, 입력 2를 넣으면 항상 b가 나오는 식입니다. 반대로 입력 1을 넣었는데 a도 될 수 있고 b도 될 수 있다면 결과가 하나로 정해지지 않습니다. 이런 대응은 함수라고 보기 어렵습니다.

이산수학에서는 이런 연결을 순서쌍으로 자주 표현합니다. 는 입력 1이 출력 a로 연결된다는 뜻입니다. 순서쌍이 모이면 관계가 되고, 그 관계 중에서 “정의역의 각 입력이 정확히 하나의 출력으로만 연결되는 경우”가 함수입니다.

입력과 출력만 떼어 보는 예시

A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c, d} R = {(1, a), (2, b), (3, c)}

위 예시에서 왼쪽 값 1, 2, 3은 입력입니다. 오른쪽 값 a, b, c는 실제로 연결된 출력입니다. 입력 1은 a로, 2는 b로, 3은 c로 갑니다. 각 입력이 하나의 출력에만 연결되어 있으므로 함수가 될 수 있습니다.

여기서 d가 사용되지 않았다는 점은 아직 함수 여부를 깨뜨리지 않습니다. 함수인지 아닌지를 볼 때는 우선 입력이 빠졌는지같은 입력이 여러 출력으로 갈라지는지를 확인합니다. d처럼 공역에 있지만 실제로 나오지 않은 값은 나중에 전사함수를 판단할 때 다시 보게 됩니다.

함수인지 아닌지 판별하는 두 가지 조건

문제에서 순서쌍이 주어졌다면 출력부터 보지 말고 입력부터 확인합니다. 함수 판별에서 먼저 볼 기준은 두 가지입니다. 정의역의 원소가 모두 등장해야 하고같은 입력이 두 개 이상의 출력으로 연결되면 안 됩니다.

첫 번째 조건은 “빠진 입력이 없는가”입니다. 정의역이 이라면 1, 2, 3이 모두 어떤 출력으로든 연결되어 있어야 합니다. 3이 빠진 상태라면 정의역 전체에 대해 규칙이 정해진 것이 아니므로 함수가 아닙니다.

두 번째 조건은 “입력 하나가 출력 하나로만 가는가”입니다. 같은 입력 1이 a로도 가고 b로도 간다면, 입력 1의 결과가 하나로 정해지지 않습니다. 이 경우도 함수가 아닙니다.

함수가 아닌 이유를 분리해서 보기

A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c, d} R1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, d)}
R2 = {(1, a), (2, b)}

R1은 함수가 아닙니다. 입력 1이 a와 b 두 곳으로 연결되어 있기 때문입니다. 입력 하나에 결과가 두 개 생기면 함수의 기본 조건이 깨집니다.

R2도 함수가 아닙니다. 이번에는 입력이 여러 출력으로 갈라지지는 않지만, 정의역 A의 원소 3이 빠져 있습니다. 1과 2만 연결되어 있으므로 A 전체에서 B로 가는 함수라고 말할 수 없습니다.

두 예시는 모두 함수가 아니지만 틀린 이유가 다릅니다. 하나는 “같은 입력의 중복”이고, 다른 하나는 “입력 누락”입니다. 실제 문제에서도 이 둘을 나눠서 확인하면 판별이 훨씬 안정적입니다.

정의역·공역·치역을 구분하는 방법

함수 판별 다음으로 자주 헷갈리는 부분이 정의역, 공역, 치역입니다. 세 용어가 모두 집합을 가리키기 때문에 처음에는 비슷하게 보입니다. 하지만 각각 보는 위치가 다릅니다.

정의역은 입력으로 사용하는 값들의 집합입니다. 공역은 출력이 속할 수 있다고 미리 정해 둔 후보 전체입니다. 치역은 그 후보 중에서 실제로 결과로 나온 값들만 모은 집합입니다.

공역과 치역이 달라지는 예시

f: X → Y X = {1, 2, 3}
Y = {a, b, c, d} f(1) = a
f(2) = a
f(3) = c

여기서 X는 정의역입니다. 실제 입력으로 넣는 값이 1, 2, 3이기 때문입니다. Y는 공역입니다. 출력이 들어갈 수 있다고 정한 전체 후보가 a, b, c, d이기 때문입니다.

하지만 실제 결과로 나온 값은 a와 c뿐입니다. b와 d는 공역 안에 들어 있지만 한 번도 출력되지 않았습니다. 따라서 치역은 입니다.

이 차이를 놓치면 전사함수에서 바로 헷갈립니다. 전사함수는 공역의 모든 값이 실제 출력으로 나왔는지를 보는 개념입니다. 따라서 공역과 치역을 같은 말처럼 외우면 전사 판별 기준이 흐려집니다.

용어	확인 위치
정의역	입력으로 사용하는 집합
공역	출력이 들어갈 수 있는 후보 전체
치역	실제로 출력된 값들의 집합

문제에서 함수 그림이 주어졌다면 왼쪽 집합을 정의역으로 보고, 오른쪽에 표시된 전체 집합을 공역으로 봅니다. 그다음 화살표가 실제로 도착한 값만 따로 모으면 치역입니다. 이 순서로 보면 공역과 치역을 섞을 가능성이 줄어듭니다.

단사·전사·전단사를 겹침과 빈칸으로 판단하기

단사함수, 전사함수, 전단사함수는 이름만 보면 어렵지만 판별 기준은 단순합니다. 단사는 출력이 겹치는지 보고, 전사는 공역에 빈칸이 남는지 봅니다. 전단사는 두 조건을 모두 만족하는 경우입니다.

단사함수는 서로 다른 입력이 같은 출력으로 모이지 않는 함수입니다. 입력 1과 입력 2가 둘 다 a로 간다면 출력이 겹칩니다. 이런 함수는 단사가 아닙니다.

단사는 출력의 겹침을 본다

f(1) = a
f(2) = a
f(3) = c

위 함수에서는 1과 2가 모두 a로 갑니다. 서로 다른 입력이 같은 출력으로 모였기 때문에 단사함수가 아닙니다. 단사를 판단할 때는 공역 전체를 다 사용했는지보다, 출력이 겹쳤는지를 먼저 봐야 합니다.

전사함수는 기준이 다릅니다. 전사는 공역에 들어 있는 모든 값이 실제 출력으로 한 번 이상 등장해야 합니다. 공역에 값이 남아 있는데 어떤 입력도 그 값으로 가지 않는다면 전사가 아닙니다.

전사는 공역의 빈칸을 본다

공역 = {a, b, c, d}
치역 = {a, c}

이 경우 b와 d는 공역에 있지만 실제 결과로 나오지 않았습니다. 공역에 빈칸이 남아 있으므로 전사함수가 아닙니다.

전단사함수는 단사와 전사를 동시에 만족합니다. 출력이 겹치지 않고, 공역에 남는 값도 없어야 합니다. 즉 입력과 출력 후보가 빈틈없이 일대일로 맞물리는 상태입니다.

성질	판단 기준
단사함수	서로 다른 입력이 같은 출력으로 겹치지 않는다
전사함수	공역의 모든 값이 실제 출력으로 등장한다
전단사함수	겹침도 없고 공역의 빈칸도 없다

같은 함수 그림을 보더라도 단사를 볼 때와 전사를 볼 때의 시선은 다릅니다. 단사는 화살표가 한 출력으로 몰리는지 보고, 전사는 오른쪽 공역 전체가 빠짐없이 채워졌는지 봅니다. 이 차이를 분리해서 기억해야 단사와 전사를 섞지 않습니다.

역함수와 합성함수에서 자주 틀리는 부분

역함수는 원래 함수의 방향을 거꾸로 돌리는 개념입니다. 입력 x가 출력 y로 갔다면, 역함수는 y를 다시 x로 보내야 합니다. 여기서 단사와 전사가 왜 필요한지 다시 연결됩니다.

서로 다른 입력이 같은 출력으로 모이면 거꾸로 돌아갈 때 문제가 생깁니다. 1도 a로 가고 2도 a로 간다면, 역방향에서 a를 봤을 때 1로 돌아가야 하는지 2로 돌아가야 하는지 결정할 수 없습니다. 그래서 단사가 아니면 역함수가 함수로 성립하기 어렵습니다.

공역에 한 번도 사용되지 않은 값이 있어도 문제가 됩니다. 그 값에서 거꾸로 출발하려고 하면 돌아갈 입력이 없습니다. 그래서 전사가 아니어도 역함수에서 빈 구간이 생깁니다. 결국 역함수가 제대로 존재하려면 원래 함수가 전단사여야 합니다.

역함수는 원래 계산을 되돌리는 규칙이다

f(x) = x + 2 f(3) = 5
f⁻¹(5) = 3 f⁻¹(x) = x - 2

는 입력에 2를 더하는 함수입니다. 되돌릴 때는 2를 빼야 합니다. 그래서 역함수는 가 됩니다. 역함수는 새로운 공식을 외우는 것이 아니라, 원래 계산을 반대로 추적하는 작업입니다.

합성함수는 두 함수를 이어서 적용하는 개념입니다. 라고 쓰면 왼쪽의 g가 먼저 보이지만, 계산은 오른쪽에 있는 f부터 합니다. 이 순서를 놓치면 식 전개가 바로 틀어집니다.

합성함수는 오른쪽 함수부터 계산한다

f(x) = x + 2
g(x) = 3x (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6

는 x에 f를 먼저 적용하고, 그 결과를 다시 g에 넣는다는 뜻입니다. 기호는 왼쪽부터 읽히지만 계산은 안쪽부터 진행됩니다. 따라서 합성함수 문제에서는 먼저 어떤 함수가 x를 직접 받는지 확인해야 합니다.

특수 함수는 계산 기준부터 잡기

함수 단원 뒤쪽에는 계승함수, 바닥함수, 천장함수, 나머지 함수처럼 이름이 따로 붙은 함수들이 나옵니다. 이 부분은 정의 문장을 길게 외우는 것보다 실제 값이 어떻게 바뀌는지 먼저 보는 편이 낫습니다.

계승함수는 느낌표 로 표시합니다. 는 5부터 1까지 차례대로 곱한 값입니다. 경우의 수, 순열, 조합을 공부할 때 자주 나오므로 기호를 보면 곱셈 구조를 떠올리면 됩니다.

자주 나오는 계산 예시

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ⌊3.8⌋ = 3
⌈3.2⌉ = 4 ⌊-1.2⌋ = -2
⌈-1.2⌉ = -1 17 mod 5 = 2

바닥함수 는 x보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수를 찾습니다. 은 3입니다. 3은 3.8보다 작거나 같은 정수 중 가장 큽니다.

천장함수 는 x보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수를 찾습니다. 는 4입니다. 4는 3.2보다 크거나 같은 정수 중 가장 작습니다.

음수에서는 특히 주의가 필요합니다. 를 소수점 아래를 버리는 방식으로 생각하면 -1이라고 착각하기 쉽습니다. 하지만 -1은 -1.2보다 큽니다. 바닥함수는 작거나 같은 정수 중 가장 큰 값을 찾으므로 입니다.

나머지 함수 는 나눗셈 후 남는 값을 의미합니다. 는 17을 5로 나누었을 때 나머지가 2라는 뜻입니다. 프로그래밍에서는 홀짝 판별, 반복 인덱스, 요일 계산처럼 주기적으로 돌아가는 값을 다룰 때 자주 쓰입니다.

문제 풀 때 확인할 순서

함수 단원은 처음부터 모든 용어를 같은 무게로 외우면 복잡해집니다. 먼저 함수인지 아닌지를 확인하고, 그다음 단사와 전사를 나눠서 보면 됩니다. 역함수와 합성함수는 그 뒤에 연결해도 늦지 않습니다.

순서쌍이나 함수 그림이 주어졌다면 아래 순서로 확인합니다.

1. 정의역의 모든 원소가 연결되어 있는가?
2. 입력 하나가 출력 하나로만 연결되는가?
3. 서로 다른 입력이 같은 출력으로 겹치는가?
4. 공역에 한 번도 사용되지 않은 값이 있는가?
5. 거꾸로 되돌렸을 때도 함수가 될 수 있는가?
6. 합성함수라면 x에 먼저 적용되는 함수가 무엇인가?

1번과 2번은 함수 판별 기준입니다. 3번은 단사함수, 4번은 전사함수, 5번은 역함수를 판단할 때 필요합니다. 6번은 합성함수 계산에서 순서를 놓치지 않기 위한 확인입니다.

정의역, 공역, 치역은 이름이 비슷하지만 역할이 다릅니다. 정의역은 입력, 공역은 가능한 출력 후보 전체, 치역은 실제로 나온 출력입니다. 이 구분이 잡히면 단사·전사·전단사도 따로 외운 말이 아니라 같은 함수 그림에서 확인할 수 있는 성질로 보입니다.

처음 공부할 때는 큰 수식보다 작은 집합 예시를 직접 따라가 보는 것이 더 오래 남습니다. 입력이 빠졌는지같은 입력이 두 곳으로 갔는지, 출력이 겹치는지, 공역에 빈칸이 남는지를 순서대로 확인하면 함수 단원의 기본 문제는 같은 기준으로 풀 수 있습니다.